Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral
RESOLUÇÃO:
Segundo os extremos de integração, para cada x fixo no intervalo ![[0,]()
, y varia de x até 
. Essa variação está ilustrada na cor vermelha na figura abaixo, e resulta na região de integração ilustrada na cor preto.
. Essa variação está ilustrada na cor vermelha na figura abaixo, e resulta na região de integração ilustrada na cor preto.
Para inverter a ordem de integração, observe que a região pode ser descrita da seguinte maneira: para cada y fixo no intervalo ![[0,]()
, x varia no intervalo [0, y]. Essa nova maneira de descrever a região está ilustrada em azul na figura acima. Daí segue-se que a integral pode ser escrita como
Observe agora que a integral interna é fácil de ser calculada, e é igual a
Daí segue-se que
Finalmente, essa última integral é fácil de ser calculada, e seu valor é igual a 2. Assim,
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