INTEGRAIS DUPLAS - EXERCÍCIO RESOLVIDO

EXERCÍCIO:

Suponha que a área de uma região no plano de coordenadas polares seja

Esboce a região e encontre sua área.

RESOLUÇÃO:

Em coordenadas cartesianas, a igualdade  corresponde à equação de um círculo. De fato, multiplicando por r, obtém-se que  , onde

Assim, a igualdade corresponde à equação,  , ou ainda  , que é a equação de um círculo de raio 1 e centro no ponto (0, 1). O círculo está esboçado logo a seguir.

Por sua vez, a igualdade  corresponde à equação de uma reta. Para ver isso, basta notar que  , e portanto a igualdade é equivalente a , isto é  , que é a equação de uma reta paralela ao eixo Ox .

Segue-se que a região de integração corresponde àquela entre o círculo e a reta, com o ângulo  entre  e  . Essa região estã ilustra da na figura abaixo, na cor azul claro.

A integral pode ser calculada diretamente usando integrais iteradas. Mas pode ser calculada de uma forma indireta, uma vez que a integral corresponde à área da região esboçada acima, e já se sabe que esta área é igual a  (metade a área do disco de raio 1). Assim,