Encontre a altura média do cone simples
no plano xy.RESOLUÇÃO:
A figura abaixo ilustra o cone juntamente com o cilindro de mesma base e altura.
A altura média é obtida dividindo-se o volume do cone pela área de sua base. Como a área da base é ![]()
(área do disco de raio a ), resta apenas calcular o volume do cone.
Para isso, observe primeiro que o cilindro ilustrado acima tem volume igual a 
(área da base vezes altura). Além disso, o sólido abaixo do cone tem volume igual à integral da função ![]()
sobre o disco de raio a . Indicando esse disco por D, segue-se então que o volume V do cone é dado por
(área da base vezes altura). Além disso, o sólido abaixo do cone tem volume igual à integral da função
e resta apenas calcular a integral. Esse cálculo, por sua vez, é mais fácil em coordenadas polares, em que o disco D corresponde ao retângulo [0, a ] X [0, 
]. Usando essas coordenadas, obtém-se que
]. Usando essas coordenadas, obtém-se que
onde a integral do lado direito é bem simples de calcular, e vale 
. Substituindo esse valor na expressão do volume, segue-se que
. Substituindo esse valor na expressão do volume, segue-se que
Finalmente, obtém-se que a altura média Am é igual ao quociente entre o volume V e a área A = 
da base, isto é,
da base, isto é,
Nenhum comentário:
Postar um comentário