TEORIA DOS NÚMEROS - DIVISIBILIDADE EM Z (1)

DIVISIBILIDADE EM Z

5.1 – DIVISOR  E MÚLTIPLO DE UM INTEIRO           Definição:- Se “a”  e  “b”  são dois inteiros, com a ¹ 0,  dizemos que “a”  divide  “b”, se existe um inteiro q, tal que, b = aq.   Indicamos  “a” divide “b”  por a | b. Quando “a” não divide “b”, indica-se  a  |  b .          Quando a | b, dizemos que  “a” é divisor de “b”  ou que “b” é múltiplo de “a”. Exemplo:  2 | 6  pois existe o inteiro 3, tal que 6 = 2.(3)                 -5 | 30 pois existe o inteiro –6, tal que 30 = (-5)(-6).              3  |  8 pois não existe nenhum inteiro “q” tal que   8 = 3q. 5.2 – PROPRIEDADES P1 -  Se a | b então (-a) | b.          Demonstração: a | b è $ q Î Z tal que  b = aq è b = (-a)(-q).  Sendo q um inteiro, -q também é um inteiro. Portanto, -a | b. P2 - " “a” inteiro e diferente de zero,  a | 0  e  a | a.           Demonstração:  a | 0 pois  0 = a.0 (0 é inteiro)                               a | a pois a = a.1 (1 é inteiro) P3 - "a inteiro, 1 | a.          Demonstração:  1 | a pois a = 1.a. P4 – Se a | 1, então a = 1 ou a = -1.           Demonstração: Se a | 1, então  1 = aq, com q inteiro. Como 1 só é múltiplo de 1 e de –1 então,  a = 1 e q = 1 ou a = -1 e q = -1. Portanto, a = 1 ou a = -1. P5 – Se a | b e c | d então ac | bd.           Demonstração:- Se a | b, então $ q Î Z tal que b = a.q  (1)  Se c | d então $ q’ Î Z tal que d = c.q’ (2). Multiplicando membro a membro (1) por (2), resulta:  bd = aqcq’ = (ac)(qq’).  Como qq’ é inteiro, ac | bd. P6 – Se a | b e b | a, então a = ± b.           Demonstração:- Se a | b então $ q Î Z tal que b = aq. (1)                               Se b | a então $ q’ Î Z tal que a = bq’ (2)  Substituindo o valor de b (1) em (2) resulta a = aqq’ è qq’ = 1 è q’ = ± 1.  Substituindo esse valor em (2) resulta a = b(± 1) è a = ± b. P7 – Se a | b, com b ¹ 0, então | a | < | b |.           Demonstração:-           a | b, com b ¹ 0 è $ q Î Z tal que b = aq com q ¹ 0 è | b | = | a |. | q |. Como q ¹ 0, | q | > 1 è | b | > | a |  ou | a | < | b | . P8 – Se a | b e a | c, então a | (bx + cy), " x, y Î Z.           Demonstração:  Se a | b  então  b = aq(1) .   Se a | c então c = aq’ (2).  Ora, bx + cy = aqx + aq’y è bx + cy = a(qx + q’y) è a | bx + cy pois qx + q’y é um inteiro. 5.3 – ALGORITMO DA DIVISÃO          Sejam os inteiros “a” e “b”, com b ¹ 0. Na divisão de “a” por “b”, existem os inteiros “q” e “r” tais que     a = bq + r,   com  0 < r < | b |   sendo “q”  e  “r”  únicos.

Esquematizando

Os termos são assim denominados: “a” – dividendo; “b” - divisor; “q”  - quociente e “r” – resto.De acordo com a definição, o resto é um número positivo menor que o divisor.           Assim, por exemplo, ao dividir qualquer inteiro por  5 ou por –5 os restos possíveis são 0, 1, 2, 3, 4.            Como pode ser notado, o maior resto possível é sempre 1 unidade a menos que o módulo do divisor.

Observe que ao dividir 43 por 17 obtém-se 2. O produto 2.17 = 34 é subtraído do 43, restando 9. Por isso abaixo do 43 foi posicionado o – 37. Dividindo 92 por 17 obteve-se 5. O produto 5x17 = 85 é subtraído do 2, obtendo o resto 7. Desta forma 432 dividido por 17 resulta em um cociente 25 e resto 7.

Neste caso, dividindo –32 por 23 obtém-se  -1.        O produto 23.(-1) = - 23 deve ser subtraído de –32, o que resulta –32 – (-23) = -32 + 23 = -9. Fato semelhante resulta na divisão de – 95 por 23, obtém-se –4 e a –95 – (-92) = -95 + 92 = -3        De acordo com a definição da divisão, o resto “r” deve ser tal que 0 < r < |23|. Portanto, não se pode aceitar o resto –3. Para que se obtenha um resto positivo, devemos obter um múltiplo de 23 que seja maior que 95. Isto se consegue acrescentando uma unidade ao 4 do quociente. Isto faz resultar: quociente = -15 e resto – 95 – (-23.5) = - 95 + 115 = 20. Portanto, o quociente é –15 e o resto é 20.        Note que esse resultado poderia ser obtido fazendo: no quociente – 14 – 1 = -15 e r = -3 + 23 = 20 (resto obtido mais o divisor). EXERCÍCIOS  Ache o quociente e o resto da divisão de  a) 422 por 12                            b) 314 por – 8                 c) –620 por 13                          d) – 413 por –6