TEORIA DOS NÚMEROS - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

7.1 – DEFINIÇÃO            Sejam a e b dois inteiros, com a ¹ 0 e b ¹ 0. Chamamos de mínimo múltiplo comum de a e b, que se denotammc(a, b), ao menor inteiro positivo “m”, tal que a | m  e b | m.         Em resumo:  mmc(a, b) = o menor inteiro positivo múltiplo de a e de b.         Tomando por exemplo, os inteiros -12 e 18, teremos: M(-12) = {0, ± 12, ± 24, ± 36; ± 48; ± 60; ± 72; ± 84; ± 96; ± 108; ± 120; ± 132; ± 144;...}  M(18) = {0, ± 18, ± 36; ± 54; ± 72; ± 90; ± 108; ± 126; ± 144;...}           Os múltiplos comuns de –12 e 18 são: {0; ± 36; ± 72; ± 108; ± 144; ...}. Teremos assim, para o mmc(-12, 18) o valor 36 pois é o menor inteiro positivo múltiplo de –12 e 18. 7.2 – PROPRIEDADES DO MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE DOIS OU MAIS NÚMEROS         Sejam a, b e c inteiros diferentes de zero. Temos, para o mmc de tais números P1) mmc (a, b) = mmc(-a, b) = mmc(a, -b) = mmc(-a, -b). P2) mmc(a, b, c) = mmc(a, mmc(b, c)) = mmc(mmc(a, b), c) P3) mmc(1, a) = a, com a  ¹ 0. P4) Se a | b, então mmc(a, b) = | b |. P5) Se | a | < | b |  então mmc(a, b) < | b |. P6) Os múltiplos comuns de dois inteiros a e b são múltiplos de seu mmc. P7) Na decomposição de a e b em fatores primos, o mínimo múltiplo comum de a e b é igual ao produto dos fatores primos comuns e não comuns, tomados com seus maiores expoentes.  Exemplo: Seja calcular o mmc de 30 e 18.  Decompondo os dois inteiros temos: 60 = 22.3.5   e 18 = 2.32. Tomando todos os fatores obtidos com seus maiores expoentes, resulta  mmc(60, 18) = 22.32.5 pois os fatores primos são 2, 3 e 5, e 2 e 2 são os maiores expoentes de 2 e 3. Um procedimento prático para a determinação do mmc consiste na decomposição dos inteiros simultaneamente, conforme abaixo

P8) Se a e b são primos entre si, então mmc(a, b) = | a |. | b | 7.3 – RELAÇÃO ENTRE O MDC E O MMC          Sejam a e b dois inteiros não nulos.    Tem-se    mmc(a, b). mdc(a, b) = | ab |.          Demonstração: sejam  mdc(a, b) = d  e  mmc(a, b) = m.   Como mdc(a, b) = d,  d | b e d | a è (b/d) e (a/d) são números inteiros. Deste modo  a | a(b/d)  e b | b(a/d) è ab/d é um múltiplo comum de a e b è ab/d é múltiplo do mmc(a, b) (P.6). Temos, então:   ab/d = mk, k inteiro. Isto permite concluir que a/d = (m/b)k e b/d = (m/a)k è k é um divisor comum de a/d e b/d. Mas a/d e b/d são primos entre si. Portanto, k = 1. Desta forma,  ab/d = m ou ab = dm è ab = mdc(a, b). mmc(a, b). EXERCÍCIOS 01 – Calcular o mmc dos seguintes números:  a) 45,    21        b) 83,    68       c) –120,  110  d) –224, -192           e) 306, 657, 210 02 – O mdc de dois inteiros positivos a e b é 18 e na sua determinação pelo algoritmo de Euclides os quocientes obtidos são 2, 1, 1, e 4. Calcular a e b. 03 – Determinar os inteiros positivos a e b tais que:  a) ab = 4032  e        mmc(a, b) = 336  b) mdc(a, b) = 8      e        mmc(a, b) = 560  c) a + b = 580         e    mmc(a, b)/mdc(a, b) = 84. 04 – Na decomposição dos inteiros a e b obteve-se a = 24x35x5x13   e b = 23 x 3 x 7. Calcule, sem efetuar as multiplicações  o mdc e mmc de a e b. 05 – Achar inteiros positivos x, y e z tais que a) 11x + 19y + 3z = 1       b) 56x + 6y + 32z = 2  c) 6x + 3y + 15z = 9         d) 14x + 7y + 21z = 4 06 – Dois ciclistas conseguem percorrer um a pista circular em 18 e 20 minutos respectivamente. Se os dois partem da largada exatamente à 11 horas, determine o instante em que eles passarão juntos pela marca de largada pela 4 vez, contando a partida.