TEORIA DOS NÚMEROS - O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (2)

O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

2.3 – RELAÇÃO         Define-se uma relação entre os elementos a e b, indicado por a Â b, a uma lei que permite comparar os elementos a e b. Como exemplo podemos citar a relação de igualdade, simbolizada por a = b, a relação de ordem simbolizada por a > b, entre outras.         Uma relação pode apresentar (ou não) as propriedades:· (i) reflexiva, se  a Â a, caso contrário é anti-reflexiva. A relação de igualdade é reflexiva, pois a = a.  A relação “maior do que”  é anti-reflexiva, pois não é verdade que a > a. (ii) simétrica, se a Â b Þ b Â a. A igualdade é simétrica e a relação maior do que é anti-simétrica. ( iii) transitiva, se a Â b e b Â c Þ a Â c. AS relações de igualdade e maior do que são transitivas.        Qualquer relação que apresente as três propriedades é chamada de relação de igualdade ou relação de equivalência.       Uma relação que seja anti-reflexiva, anti-simétrica e transitiva é denominada relação de ordem.       Uma relação de ordem permite organizar os elementos do conjunto. Já, na relação de equivalência, é possível agrupar elementos que sejam equivalentes, e, assim, dividir um conjunto em subconjuntos onde cada  subconjunto forma uma classe de equivalência.       Tomemos, por exemplo, a relação a Â b no conjunto dos números naturais, onde Â representa a relação "mesmo resto da divisão por 5". Temos:  21 Â 46 pois ambos deixam resto 1 na divisão por cinco.       Esta relação permite dividir o conjunto dos números naturais se em 5 classes de equivalência, que podem ser  designadas por 0, 1, 2, 3 e 4 (restos possíveis na divisão por 5). Assim, classes de equivalências serão: 0 = {0, 5, 10, 15, 20, 25 ...};  1 = {1, 6, 11, 16, 21, 26, ...}; 2 = {2, 7, 12, 17, 22, ...}; 3 = {3, 8, 13, 18, 23, ...} e 4 = {4, 9, 14, 19, 24, 29, ...}.       Se dois elementos a e b pertencem a uma mesma classe, costuma-se indicar a º b  que se lê “a é côngruo com b”.       Isto significa que, qualquer elemento de uma classe pode substituir ou representar os demais. Vejamos uma adição:   137 + 214 º   2 + 4 =  6 º  1.  (ou seja, ao dividir 137 + 214 por 5 o resto é 1). Note que operamos com 2 e 4 pois os mesmos pertencem às mesmas classes do 2 e do 4, respectivamente.     Provavelmente você se lembra que ao somar frações devemos usar frações de mesmo denominador. Para somar, por exemplo, 5/8 com 1/4, usa-se 5/8 + 2/8 = 7/8. O 1/4 foi substituído por 2/8 que é um equivalente a 1/4.       Outra situação em que se aplica a relação de equivalência, encontramos na Trigonometria, onde sen 800º = sen (2*360º + 80º) = sen 80º. Dizemos que os ângulos de 800º e 80º são côngruos e escrevemos 800ºº 80º. EXERCÍCIOS 1 - Verifique se as operações definidas abaixo são: associativas, comutativa, tem neutro, tem simétrico: a) a Ä b = ab + ba               b) a Ä b = (a.b)1/2             2 - Sejam  È e Ç as operações união e interseção de conjunto, definidas por  [ x Î (A È B) ==> x Î A ou x Î B]  e [ x Î (A ÇB) ==> x Î A e x Î B ]. Verifique as propriedades: associativa, comutativa,  neutro e simétrico para estas duas operações. Verifique se È  é distributiva em relação à Ç, isto é  A È (B ÇC) = (A ÈB) Ç (A ÈC). Verifique se  Ç é distributiva em relação à È, isto é A Ç (B  È C) = (A ÇB) È (A ÇC). 3 - Você deve se lembrar dos conetivos lógicos, "e" , "ou", "se ...  então"  e "se e somente se". Verifique se as operações com sentenças usando estes conectivos apresentam as propriedades: associativa, comutativa, neutro e simétrico. Como exemplo, verifique se   a v b = b v a  (a "ou" b = b "ou" a), etc.