TEORIA DOS NÚMEROS - O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (3)

O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

2.4 - O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS         Representado pela letra Z, o conjunto dos números inteiros é definido como o conjunto formado por todos os números inteiros positivos, negativos ou nulo. Isto é Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.         Algumas vezes desejamos nos referir a partes desse conjunto. Para tal usamos: Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, ...}. Também representado por N (conjunto dos números naturais) Z- = {..., -3, -2, -1, 0} - conjunto dos inteiros não positivos.         Quando se deseja excluir o zero de algum desses conjuntos, usa-se o sinal *. Assim, Z+* = {1, 2, 3, ...}.            No conjunto Z, são definidas as operações adição, subtração e multiplicação. (1) A adição e a multiplicação apresentam as propriedades comutativa e associativa. (2) O elemento neutro da adição é o 0 e o da multiplicação é o 1. (3) Para a adição cada elemento x tem o seu simétrico que é -x, tal que x + -x = -x + x = 0.         Considerando apenas os inteiros não negativos (Z+), pode-se também definir a operação potenciação, pois para todo a Î Z+ e b Î Z+, ab Î Z+. 2.5 - A RELAÇÃO DE ORDEM EM Z         Além das operações descritas anteriormente, o conjunto Z é munido de uma relação de ordem (> maior do que), para a qual são verificadas as propriedades: (a) a > b e b > c Þ a > c (b) a > b e c > d Þ a + b > c + d (c) a > b e c > 0 Þ ac > bc (d) a > b e 0 < c Þ bc > ac, ou a > b e c < 0 Þ ac < bc.  EXERCÍCIOS

1 - Complete as seguintes operações:  a) 4* 632 + 2 * 75 + * 245 * = 63458 b) 4 2 * 7 *   x  * 1 5 = 2 1 * *  5

2 - Um livro tem 3164 páginas. Quantos algarismos são necessários para numerar todas as páginas desse livro? 3 - Se 2xy = 5x + y, sendo x e y dois inteiros positivos, determine valores para x e y. 4 - A soma de 5 números inteiros e consecutivos é 3145. Determine esses 5 números. 5 - Ache a soma do maior número de 5 algarismos diferentes com o menor número de 6 algarismos. 6 - A soma de 5 números inteiros pares consecutivos é 1530. Determine esses números. 7 - Quantas vezes se escreve o algarismo 9 ao escrever todos os números de 18 a 318? 8 - Um número de 3 algarismos termina em 6. Se ele é formado por algarismos diferentes, qual é esse número? De que número ele é o quadrado? 9 - Escreve-se todos os números de 35 a 1000, um seguido ao outro como 35363738... . Qual algarismo ocupa a 254ª posição? 7) Decomponha 1065 numa soma de cinco inteiros ímpares consecutivos.  8) Ache todas as soluções positivas e inteiras para (x + 1)(y + 2) = 2xy.  9) Ache as soluções inteiras e positivas para x2 – y2 = 88.  10) Calcule a soma dos três maiores inteiros com três quatro e cinco algarismos.  11) Um livro tem 1235 páginas. Determine o número de vezes que o algarismo 1 aparece na numeração das páginas desse livro. 12) Escreve-se a seqüência natural dos inteiros positivos sem separar os algarismos: 123456789101112.... Determine: a) o 435º algarismo que se escreve; b) o 1756º algarismo que se escreve.