TEORIA DOS NÚMEROS - O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (4)

O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

2.6 - VALOR ABSOLUTO DE INTEIRO          Define-se o valor absoluto de um inteiro n, que se indica por | n |, como sendo                                               | n | = n se n > 0 e | n | = - n se n < 0.          Exemplos:  | +6 | = 6   e | -6 | = - (-6) = 6. Com base na definição, pode-se afirmar que: (1) | n | > 0; (2) | n |2 = n2; (3) | -n | = | n |; (4) n < | n |.         Outras formas de definir o valor absoluto de um número são: | n | =  ; | n |  = máx(n, -n) Vejamos alguns teoremas sobre o valor absoluto de um inteiro: T.1 - Para dois inteiros x e y quaisquer se tem | x.y | = | x | . | y |. Pela definição de valor absoluto podemos escrever:

T.2 - Para dois inteiros x e y quaisquer se tem  | x + y | < | x | + | y |. De acordo com a definição de | x | e | y | , pode-se concluir que - | x | < x < | x |  e - | y | < y < | y |. Somando membro a membro as duas expressões resulta : - ( | x | + | y | ) < x + y < ( | x | + | y | ). Como x + y está compreendido entre - ( | x | + | y | ) e ( | x | + | y | ), conclui-se que | x + y | < | x | + | y |.T.3 - Para dois inteiros quaisquer se tem | x - y | < | x | + | y | . Temos então: | x - y | = | x + (-y) |. De acordo com o teorema T.2, conclui-se: | x + (-y) | < | x | + | - y | < | x | + | y |.