TEORIA DOS NÚMEROS - SISTEMAS DE NUMERAÇÃO (2)

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

1.4 - BASE DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO             Base de um sistema de numeração é um conjunto de símbolos ou dígitos necessário para representar qualquer número nesse sistema. O sistema mais usado é o sistema decimal cujos dígitos ou algarismos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Em computação o sistema de base dois, cujos dígitos são 1 e 0, é de fundamental importância pois pode-se associar a cada um deles um sinal luminoso. Ao 0 associa-se uma luz apagada e ao 1 associa-se uma luz acessa.            Num sistema de base "n" onde a, b, c, d, e, f são alguns de seus dígitos, o número abcdef(n) corresponde aa.n5 + b.n4 + c.n3 + d.n2 + e.n1 + f.n0. O índice (n) indica qual a base que se está usando. Não há necessidade de indicar a base quando a mesma é a base dez pois esta é usada correntemente. Tomando por exemplo, o número 122122(três), teremos  1.35 + 2.34 + 2.33 + 1.32 + 2.31 + 2.30. 1.5 – MUDANÇAS  DE BASES           Observando o exemplo anterior onde o número aparece decomposto em potências da base três, podemos ver que a simples resolução das operações indicadas na base desejada irá resultar no número escrito em tal base.           Para transformar para a base 10, fazemos: 1.243 + 2.81 + 2.27 + 1.9 + 2.3 + 2.1 = 476.          A indicação a.n5 + b.n4 + c.n3 + d.n2 + e.n1 + f.n0 define o processo para transformar da base dez para outra base. Como pode ser notado, o trabalho consiste em converter o número como uma soma de potencias inteiras da base multiplicada pelos dígitos que a mesma utiliza. Isto se consegue dividindo o número dado pela base. O resto da divisão será o primeiro algarismo da direita do número em tal base. Dividindo o quociente pela base, o resto será o próximo algarismo. O processo deve-se repetir até que o quociente se torne menor que a base. Assim, para transformar 6152 para a base 5, teremos:

1.6 – USANDO PLANILHAS           Aplicando as informações do item anterior é fácil criar aplicativos para mudança de bases nestes softwares.         1.6.1 – Base qualquer para a base 10 (1) Digite na célula B2 a base a ser transformada (2) Nas células C3 digite o número 1. (3) Na célula C4 digite = C3*$B$2 para multiplicar o conteúdo da célula C3 pela base. A seguir pressione ENTER. No lugar de digitar C3 você pode clicar na mesma que ela será exibida no lugar devido. Na célula C4 será exibido o valor da base. (4) Clique na célula C4 para seleciona-la. No canto inferior direito será exibido um pequeno quadrado preto. (5) Posicione o ponteiro do mouse sobre esse quadrado. Mantendo o botão direito do mouse pressionado arraste-o pelas células abaixo da célula C4. Este procedimento irá copiar a fórmula para as demais células. Na coluna serão exibidas as potências da base. (6) Na célula D3, D4, D5, ...  digite os algarismos que constituem o número a ser convertido sendo que em D3 deve-se escrever o primeiro algarismo da direita. (7) Na célula E3 digite = C3*D3 e pressione ENTER. (8) Clique na célula E3 e repita o procedimento para copiar a fórmula para as células da coluna E. (9) Clique na célula abaixo da última célula preenchida da coluna E. Vamos chamá-la de Em. (9) Na barra de ferramentas abaixo da barra de menu clique no sinal S para obter a soma dos valores da coluna E. (10) Pressione ENTER. Na célula Em será exibido o número obtido ao transformar para a base 10.  (11) Salve o arquivo para ser usado em outros exercícios. Com o arquivo salvo basta mudar o número a ser transformado e a base.          1.6.2 – Base 10 para outra base (1) Na célula F2 digite a base.  (2) Na célula D2 digite o número.  (3) Na célula C4 digite =TRUNCAR(D2/$F$2).  (4) Na célula D4 digite =D2-C4*$F$2  (5) Na célula E4 digite =SE(C4>=$F$2;"continue";"FIM")  (6) Na célula C5 digite =TRUNCAR(C4/$F$2)  (7) Na célula D5 digite =SE(C5<$F$2;C5;C4-C5*$F$2)  (8) Na célula E5 digite =SE(C5>=$F$2;"continue";"FIM")  (9) Selecione as células C5, D5 e E5.  (10) Posicionando o ponteiro do mouse sobre o quadrinho preto no canto inferior direito da célula E5 e mantendo o botão esquerdo do mouse pressionado, arraste-o pelas abaixo da linha 5. Use quantas linhas desejar.  (11) Salve o seu trabalho. Quanto for usado para outro exercício, basta substituir o número a ser transformado e a base desejada.

1.7 - MAIS EXEMPLOS        (a) Transformar 1101001(2) para a base 10. Escrevendo na forma de produto de potências, temos 1101001(2) = 1.26 + 1.25 + 0.24 + 1.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20 = 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 105        (b) Transformar 2263 para a base 3. Efetuando as divisões por 3,

Portanto, 2263 = 10002211(3) . Observe bem a ordem em que são tomados os restos das divisões.   (c) 2211(3) para a base 5.            Nesse caso pode-se transformar para a base 10 e da base 10 para a base 5. Entretanto, vamos transformar diretamente da base três para a base cinco.            No sistema decimal, cada dez unidades escreve-se 10, que é chamado de 1 dezena. Cada grupo de 10 dezenas escreve-se 100 que é chamado de 1 centena, e assim, sucessivamente. Da mesma forma, no sistema de base 5, cada 5 unidades escrevemos 10(5). Vamos, impropriamente, chamar 10(5) de 1 dezena. Cada grupo de 5 “dezenas” (5 unidades) escrevemos 100(5) ou seja, uma “centena”.          Aplicando essa idéia nos exemplos, teremos: 51 = 10(5), 52 = 25 = 100(5) , 53 = 125 = 1000(5) .  Portanto, 2.33 = 2.27 = 2.(52 + 2) = 2.102(5) = 204(5);  2.32 = 18 = 3.51 + 3 = 33(5) ; 1.31 = 3 = 3(5) 1.30 = 1 = 1(5) .          Assim,   2211(3) = 204(5) + 33(5) + 3(5) + 1(5) = 301(5).  Note que 4(5) + 3(5) = 12(5) pois cada grupo de 5 equivale a 10(5) .