TEORIA DOS NÚMEROS - SISTEMAS DE NUMERAÇÃO (3)

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

1.7 – OPERAÇÕES EM BASES NÃO DECIMAIS          O princípio básico das operações é levar em consideração que numa base n, cada 1 grupo de n unidades irá formar 1 unidade da ordem imediatamente superior. Tomando, por exemplo, a base 10, cada 10 unidades forma uma dezena. Ao somar 4 + 8 teremos,  4 + 8 = 10 unidades mais 2 unidades. Isto se escreve 12.           Para um sistema de base 6,  4 + 5 = 6 unidades mais 3 unidades, o que se escreve 13(6).       Adição

1ª ordem: 2 + 2 + 2 + 1 = 2 grupos de 3 + 1 = 21(3) Þ  fica 1 na 1ª ordem e vão 2 para a 2ª ordem. 2ª ordem: 2 + 1 + 2 + 1 = 2 grupos de 3 = 20(3) Þ  fica 0 na 2ª ordem e vão 2 para a 3ª ordem. 3ª ordem: 2 + 2 + 0 + 2 + 2 = 2 grupos de 3 + 2 = 22(3) Þ  fica 2 na 3ª ordem e vão 2 para a 4ª ordem 4ª ordem: 2 + 1 + 2 + 2 + 2 = 3 grupos de 3 + 0 = 100(3) Þ  fica 0 na 4ª ordem e vai 1 para a 6ª ordem. 5ª ordem: 1 + 2 + 1 + 1 = 1 grupos de 3 + 2 = 12(3) Þ  fica  2 na 5ª ordem e vão 2 para a 6ª ordem. 6ª ordem: 1 (da 4ª ordem) + 1 (da 5ª ordem) + 2 + 1 + 1 + 1 = 2 grupos de 3 + 1 = 21(3) Þ  fica 1 na 6ª ordem e vão 2 para a 7ª ordem. 7ª ordem: 2 + 2 + 1 + 2 + 2 = 3 grupos de 3 + 0 = 100(3) Þ  fica 0 na 7ª ordem, 0 na 8ª ordem e 1 na 9ª ordem. Multiplicando na base 3

Observemos que, para a base 3:  1.1 = 1;  1.2 = 2.1 = 2;  2.2 = 11 (um grupo de 3 + 1); 1 + 1 = 2;    1 + 2 = 10;    2 + 2 = 11;    2 + 2 + 2 = 20. Assim, 212211(3) x 2 =  1 2 0 2 1 2 2 (3)Veja como são obtidas as diversas ordens. 1ª ordem – 2 x 1 = 2             2ª ordem – 2 x 1 = 2 3ª ordem – 2 x 2 = 11 Þ 1 para a 3ª ordem e vai 1 para a 4ª 4ª ordem – 2 x 2 + 1 = 11 + 1 = 12 Þ 2 para a 4ª ordem e vai 1 para a 5ª 5ª ordem – 2 x 1 + 1 = 10 Þ fica 0 na 5ª ordem e vai 1 para a 6ª 6ª ordem – 2 x 2 + 1 = 11 + 1 = 12 Þ 2 para a 6ª ordem e vai 1 para a 7ª.          Da mesma forma multiplicam-se os segundo e terceiro algarismos de 212. Cada produto é posicionado com um deslocamento de 1 ordem para a esquerda. EXERCÍCIOS: (1) Usando os algarismos arábicos (0, 1, 2, 3 ... 8, 9), quantos e quais são os dígitos usados num sistema      (a) de base 5           (b) de base 7? (2) Suponha que os asteriscos são elementos de um conjunto ( * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *).      (a) conte-os na base 10          (b) conte-os na base 4                (c) conte-os na base 3           (d) conte-os na base 2. (3) Faça as seguintes transformações: (a) 22122101(3) para base 10 (b) 1100111010(2) para base 10 (c) 4532(7) para base 10 (d) 122141(5) para base 10 (e) 4357 para base 7 (f) 6632 para a base 2 (g)  12212(3) para base 5 (h) 10110001(2) para base 7 (4) Efetue as operações: (a) base 3,  2122111 + 101220 + 20122 + 221022 (b) base 2,  10011111 + 11011100 + 11011 + 1011011 (c) base 3,  21221 x 1201 (d) base 2,  1011011 x 1011 (e) base 5, 4231 – 4412(f) base 2, 1100111 - 101101