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sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012

POLINÔMIOS DE TAYLOR


Polinômios de Taylor

Os polinômios são as funções mais fáceis de manipular, já que os valores das funções polinomiais podem ser obtidos através de simples adições e multiplicações. Parece natural, portanto, aproximar funções mais complicadas por funções polinomiais.
Nesta seção, vamos discutir a Fórmula de Taylor a qual nos fornece uma regra para determinar o polinômio de grau $ n$ que melhor aproxima uma dada função ao redor de um ponto $ a$ interior ao domínio de $ f$.
O exemplo mais simples de aproximação de uma função por um polinômio é a aproximação linear (diferencial) que estudamos na seção anterior. Assim como naquele caso, vamos considerar a reta tangente ao gráfico de $ f(x)$ no ponto $ x= a $

$\displaystyle T(x) = f(a) + f'(a) (x-a) $

para aproximar a função $ f(x)$ para $ x$ no ao redor de $ a$. A idéia básica é aproximar a função $ f(x)$ ao redor de $ a$ por uma função linear que passe pelo ponto $ (a,f(a))$ e cuja derivada seja a mesma da função $ f(x)$ no ponto $ a.$Definimos o erro que se comete ao aproximar $ f(x)$ por $ T(x) $ por

$\displaystyle E(x) = f(x) - T(x). $

Observemos que, para $ x \neq a, $ temos
$\displaystyle \frac{E(x)}{x-a} = \frac{f(x) - f(a)}{x-a} - f'(a). $

Daí,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \frac{E(x)}{x-a} = 0,$

ou seja, quando $ x \rightarrow a ,$ o erro $ E(x) $ tende a zero mais rapidamente do que $ (x-a).$Então definimos o polinômio de Taylor de ordem 1 de $ f(x)$ em torno de $ a$ por

$\displaystyle \fbox{$ P_1(x) = f(a) + f'(a) (x-a) ,$}$

e $ P_1$ é a função linear que melhor aproxima localmente $ f(x)$ ao redor de $ a.$

Exemplo 5.4.1   O polinômio de Taylor de grau 1 da função $ f(x) = (1-x)^{-2} $ ao redor do ponto zero é $ P_1(x) = 1+2x.$

Suponhamos, agora, que a função $ f(x)$ seja duas vezes diferenciável e procuremos um polinômio $ P(x) $, de grau no máximo 2, tal que

$\displaystyle f(a) = P(a) ,\quad f'(a) = P'(a) \,\,$    e $\displaystyle \,\, f''(a)= P''(a).$

Devemos procurar $ P(x) $ na forma $ P(x) = c_0 + c_1 (x-a) + c_2 (x-a)^2$ com os coeficientes a serem determinados. Utilizando as condições acima, obtemos
  • $ f(a) = P(a) \ \Longrightarrow \ c_0 = f(a), $
  • $ P'(x) = c_1 + 2 c_2 (x-a) \ \Longrightarrow \ P'(a) = c_1 = f'(a),$
  • $ \displaystyle P'(x) = 2 c_2 \ \Longrightarrow \ P'(a) = 2 c_2 = f''(a) \ \Longrightarrow \ c_2 = \frac{f''(a)}{2}.$
Concluímos, portanto, que
$\displaystyle \displaystyle P(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f''(a)}{2} (x-a)^2.$

Assim como anteriormente, definimos o erro que se comete ao aproximar $ f(x)$ por $ P(x) $ por

$\displaystyle E(x) = f(x) - P(x). $

Observemos que, para $ x \neq a, $
$\displaystyle \frac{E(x)}{(x-a)^2} = \frac{f(x) - f(a) - f'(a)(x-a) - \frac{f''(a)}{2} (x-a)^2}{(x-a)^2} , $

e, utilizando a regra de L'Hospital, obtemos
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\frac{E(x)}{(x-a)^2} = \frac{1}{2}\lim_{x \rightarrow a} \left[ \frac{f'(x) - f'(a)}{(x-a)} - f''(a)\right] = 0.$

Ou seja, quando $ x \rightarrow a ,$ o erro $ E(x) $ tende a zero mais rapidamente que $ (x-a)^2.$Definimos o polinômio de Taylor de ordem 2 de $ f(x)$ ao redor de $ a$ por

$\displaystyle \fbox{$ \displaystyle P_2(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f''(a)}{2} (x-a)^2 ,$}$

e temos que $ P_2$ é o polinômio de grau 2 que melhor aproxima localmente $ f(x)$ ao redor de $ a.$

Exemplo 5.4.2   O polinômio de Taylor de grau 2 da função $ f(x) = e^x $ ao redor do ponto zero é $ P_2(x) = 1+x+ \frac{1}{2}x^2.$

De forma geral, se a função dada $ f(x)$ for derivável até ordem $ n$ e procuramos um polinômio $ P$ de grau n satisfazendo

$\displaystyle P^{(k)}(a) = f^{(k)} (a), \qquad k = 0, 1,2,...,n ,$

poderemos concluir que tal polinômio terá a seguinte forma
$\displaystyle \fbox{$\displaystyle P_n(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f''(a)}{2} (x-a)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n ,$}$

o qual é chamado de polinômio de Taylor de ordem n de $ f(x)$ ao redor de $ a$.Para avaliarmos a precisão com que uma função é aproximada por polinômios de Taylor, vamos definir o erro como sendo

$\displaystyle R_n(x) = f(x) - P_n(x), $

onde $ f(x)$ é a função dada e $ P_n(x)$ é o polinômio de Taylor de grau $ n$ ao redor de $ a.$

Exercício: Verifique que, quando $ x \rightarrow a ,$ o erro $ R_n(x)$ tenderá a zero mais rapidamente que $ (x-a)^n.$


O teorema a seguir nos fornece uma fórmula para o erro.


Teorema 5.4.1   Suponhamos que a função $ f(x)$ seja $ (n+1)$ vezes diferenciável no ao redor do ponto $ a.$ Então
$\displaystyle \fbox{$R_n(x) = \dfrac{f^{n+1}(\bar{x})}{(n+1)!} (x-a)^{n+1} $}$

para algum $ \bar{x}$ entre $ x$ e $ a$.

Exercício: Utilizando aproximação linear, calcule um valor aproximado para $ \ln(1,003) $ e avalie o erro.
Exercício: Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado para $ \ln(1,03)$ e avalie o erro.


Exemplo 5.4.3   O polinômio de Taylor de ordem 4 ao redor do zero da função $ f(x) = e^x $ é $ \displaystyle P_4(x) = 1 + x + \frac{x}{2} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}. $



Exemplo 5.4.4   O polinômio de Taylor de ordem $ n$ ao redor do zero da função $ f(x) = e^x $ é $ \displaystyle P_n(x) = 1 + x + \frac{x}{2} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} +...+ \frac{x^n}{n!}. $

Exercício: Calcule um valor aproximado para o número $ e $ e avalie o erro.
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